2014 年黑龙江预赛 · 第 20 题

解答

记

由给定关系 $AC\cdot BD=AD\cdot BC$，有

三角形非退化且 $D$ 在内部，相关长度均为正，故目标一定为正。下面证明每个正数都能取到。

任给 $r>0$，令 $a=1,c=r$，取

有 $0<t<\min \{r,1/r\}$ 且 $t\le 1/2$。取两边 $BA=r,BC=1$ 的夹角 $\beta$ 满足 $\cos \beta =t$，由此作出一个非退化三角形。以下角度均用弧度表示，记另外两个内角为 $\alpha =\angle BAC$、$\gamma =\angle ACB$。余弦定理给出

又有 $\cos \beta >0$，所以 $ABC$ 确为锐角三角形。

令

因为三个内角均锐，

其中后两式分别由 $\alpha +\gamma =\pi -\beta >\pi /2$ 和 $\beta +\gamma =\pi -\alpha >\pi /2$ 得到。

对 $0<\phi <S$，考察

它连续、严格递减，在左端趋于 $+\infty$，在右端趋于 $0$。故存在唯一的 $\phi \in (0,S)$，使

置 $\psi =S-\phi$。在 $AB$ 朝向 $C$ 的一侧，分别从 $A,B$ 作射线，使

由于 $\phi ,\psi >0$ 且 $\phi +\psi =S<\pi$，两射线正向相交于唯一一点 $D$。

还须检查 $D$ 真在原三角形内部。由 $\phi <S<\alpha$，射线 $AD$ 严格位于 $\angle BAC$ 内，故 $D$ 位于直线 $AC$ 的 $B$ 侧；由 $\psi <S<\beta$，$D$ 位于直线 $BC$ 的 $A$ 侧。加上它位于直线 $AB$ 的 $C$ 侧，三条严格半平面条件说明 $D$ 确在 $ABC$ 内部。

此时

正是所需角条件。再由三角形 $ABD$ 的正弦定理，

所以 $AC\cdot BD=AD\cdot BC$ 也成立。这个合法构型的目标值为 $c/a=r$。

因此，每个正数都能实现，且目标不可能非正。原比值的完整可能值集合为

给定条件并不把它固定成一个常数。