2024 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 8 题

解答

因 $a,b$ 均为两位数而三数总位数为8，$c$ 必为四位数。

先固定三个数的位数及其顺序，暂不要求相同位数的两个数按大小排列。 把八个数位排成一行，三个首位必须非零，其余位置不受限制。 可用数码为 $0,0,0,2,2,4,8,9$，按首位中 $2$ 的个数分类：

这里相同数码不作区分。因此，对每一种固定的位数顺序，共有 $60+360+180=600$ 种排法。

暂不限制 $a<b$ 时，共600种。若 $a=b$，重复两位数只能是20： 两次出现所需的数码只能来自至少出现两次的0和2，首位非零，而22需四个2，不合条件。 此时 $c$ 由 $0,4,8,9$ 组成，首位非零的排法有 $4!-3!=18$ 种。 其余582种按交换 $a,b$ 两两成对，其中恰有一项满足 $a<b$，所以所求个数为

所用数码无1，合法两位数至少为20，因此 $a>10$ 自动满足。