2013 年河南预赛 · 第 12 题

解答

原直线与抛物线无交点等价于 $|k|<\sqrt{2}$。设 $P=(u,v)$，$v=ku-1$。两个切点弦的方程为 $y=ux-v=u(x-k)+1$，所以恒过 $\boxed{Q=(k,1)}$。又 $u^2-2v=(u-k{)}^2+2-k^2>0$，两条实切线均存在。第二问写 $P+t(Q-P)$，代入 $x^2-2y=0$ 得二次式 $A{t}^2-2Ct+C=0$，其中 $A=(k-u{)}^2,C=u^2-2v>0$。既然有两个有限交点，$A\ne 0$。两根满足 $t_M+t_N=2t_M{t}_N$，即 $t_M(t_N-1)=-t_N(t_M-1)$。取绝对值，再乘 $|PQ{|}^2$，便得 $\boxed{|PM||QN|=|PN||QM|}$。