2025 年浙江预赛

思路

切比雪夫极值引理属于课外工具：首项系数为 $c$ 的 $n$ 次多项式在 $[-1,1]$ 上的最大模至少 $|c|/2^{n-1}$。理由是 $T_n(\cos t)=\cos nt$，首项系数 $2^{n-1}$；若同首项的实多项式处处更小，与其作差会在 $n+1$ 个交错极值点间产生 $n$ 个零点，却只有至多 $n-1$ 次。这里的根反射只需直接平方比较，不需复分析。

想法从哪来：逐个估计 $|x-z_i|$ 的下界会丢掉不同根之间的协调关系，应尽量保留整个多项式。 先试把圆外根 $z_i$ 换成其倒数共轭 $1/\overline{z_i}$：对应因子改为 $1-\overline{z_i}x$，在实区间内模不增，却把外根的模乘到了首项系数上。这样原来关于根的乘积要求就变成关于首项系数的区间下界。 再问首项系数已知的多项式能否在整个区间都很小。切比雪夫多项式在交错极值点给出最小可能尺度；复系数情形先旋转首项系数为正实数，再取实部即可接回实多项式结论。

把单位圆外的根用 Blaschke 型因子反射到圆内，得到一个首项系数模为外根模之积的同次数多项式； 再应用切比雪夫极值性质。