2025 年吉林预赛

解答

设内切圆半径为 $r$。以 $B$ 为原点，令 $BA$ 为 $x$ 轴正向、$BC$ 为 $y$ 轴正向。 所有坐标同时除以 $r$，不妨设 $r=1$，于是

设

记切线长 $AF=x$，则 $u=x+1$。若 $CE=z$，则 $v=z+1$。由直角三角形的边长关系，

即

从而 $x>1$，且

直线 $AD$ 可参数化为

代入内切圆

除去对应点 $D$ 的根 $\lambda =0$，得到另一根

因此

条件 $PC\perp PF$ 等价于

利用 $P$ 在圆上，将其化简为

把式（1）、（2）代入式（3），得到

因 $u>2$，故

即 $u(u-3)=0$，所以 $u=3$。于是

且由式（2）

又 $AC=x+z=5$，$AE=x=2$，所以

点 $P,E$ 的横坐标相同，故 $PE$ 平行于 $y$ 轴；而 $BC$ 正是 $y$ 轴，因而