易混 2025 年广州预赛 · P006258
两题都用坐标简化角度条件，但坐标变换是否保持度量必须区分。正方体题沿三条互相垂直且尺度一致的棱建轴，可直接用法向量普通点积；椭圆按不同半轴伸缩成圆后，虽然交点方程简单，原角度仍需回到原坐标或带权度量计算。
正交选轴或整体等比缩放保持原角度，非等比伸缩不保持。不能看到标准立体或单位圆就忽略坐标尺度，直接套同一夹角公式。
培玉 · 一试
2024 年福建预赛
F3填空题截面与折叠
在棱长为 的正方体 中， 分别为 的中点， 点 在棱 上。若平面 与底面 所成角的余弦值为 ，则平面 截正方体 所得截面多边形的周长为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
建立正方体坐标系，以 的高度为参数；先由两个平面的法向量求出高度，再逐面求截面顶点。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
取
并令竖直棱方向为 轴。于是
平面 的一个法向量可取为 ，底面的法向量为 ，故
由 得 ，从而截面平面方程为
除 外，该平面还经过正方体的顶点
以及棱 上的点
截面依次为五边形 。逐段计算其边长，得到
所以周长为
复核
五个点分别位于底面、右侧面、后侧面、左侧面和前侧面，相邻点均在同一正方形面内； 将其代入平面方程也全部成立。
方法总结
空间截面题先用法向量确定平面，再在六个面上解线段交点；周长计算前必须按截面边界的实际顺序排列顶点。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
先用平面角求G高度，再找全截面五个顶点并按面连接，难点在避免漏掉顶点K及棱上交点L。
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同一骨架 2022 年全国高中数学联赛一试（A2 卷） 第 6 题 · P007234
两题都必须先求截平面与立体表面的真实边界，再计算长度或内角。题中给出的三个共面点只负责确定平面，未必彼此就是截面邻点；逐棱求交、逐面连线后，才能知道周长应加哪些边、顶点角应取哪两条射线。
前题还须由平面倾角确定动点高度，后题则特别容易把两个已给定点直接与指定顶点相连，算成不属于截面边界的角。
已记下，谢谢！