同一骨架 2018 年湖南预赛 · P010983
沿公共棱与垂棱方向分解，把二面角只留在两个横向单位向量的数量积中；沿棱部分与横向部分正交，空间问题由同一个分量公式控制。
前题求两射线的夹角，沿棱分量需要保留；后题求两点最短距离，可以通过让两垂足重合消去沿棱错位，但须验证给定点面距离仍成立。
培玉 · 一试
2022 年新疆预赛
F2填空题空间角与距离
已知二面角 的平面角为 ， 为直线 上的两点，射线 在平面 内，射线 在平面 内。已知
则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
把两条射线分别分解为沿棱和平行于各自平面内垂直于棱的分量，二面角只出现在横向分量的点积中。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
取沿射线 的单位向量为 ，在两半平面内分别取垂直于 的单位向量 。则
射线 的单位方向向量分别为
由于 与 都垂直，故
复核
两个方向向量均为单位向量；横向方向的夹角正是题设二面角的平面角，所有交叉项均为零。
方法总结
二面角中的射线夹角可用“沿棱分量加垂棱分量”统一计算，公式本质上是空间向量点积。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
把两射线单位向量分解为沿棱与各面内垂棱分量，将二面角余弦直接代入点积。
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