2010 年山西预赛 · 第 9 题

解答

以M为原点，取沿 $M{A}_1$ 的方向角为0，另外两条方向角为 $2\pi /3,4\pi /3$，对应单位向量为$u_1,u_2,u_3$。设 $v=\overrightarrow{MN}$，则由直径圆的直角性质，$\overrightarrow{M{B}_i}=(v\cdot u_i)u_i$。设 $v=(p,q)$，直接展开三个方向上的投影平方得 $\sum M{B}_i^2=p^2+(-p/2+\sqrt{3}q/2{)}^2+(-p/2-\sqrt{3}q/2{)}^2=\frac{3}{2}(p^2+q^2)=\frac{3}{2}M{N}^2$。又每个直角三角形给 $N{B}_i^2=M{N}^2-M{B}_i^2$，三式相加即 $\sum N{B}_i^2=3M{N}^2-\frac{3}{2}M{N}^2=\boxed{\sum M{B}_i^2}$。