2024 年山东预赛

思路

从直角三角形可得顶点到内切点的切线段长 $r\cot (\theta /2)$，内心到顶点距离为 $r/\sin (\theta /2)$；再用正弦定理转化角条件。

想法从哪来：垂直结论可倒推为一个直角三角形的边投影关系：若AD等于AI在AD方向的投影，余弦定理就给D处直角。现有条件却涉及D、E、C的角，应先把它们记成同一组角参数，通过正弦定理把CD在两个三角形中的表示对接。内心带来的长度不应逐一独立求：引入内切圆半径，切点两侧的切线段都成为半角余切，半径作为统一尺度可约去。角等式整理之后正好控制投影中的余弦项。使用普通角时必须保留凸四边形的顶点顺序，检查差角为正，不能任意把延长线分支套入同一公式。

把两个已知角记为参数，在三角形 $CED$ 与 $ACD$ 中分别用正弦定理表示 $CD$；内切圆切线长公式负责把 $CE,AC,AI$ 统一到内切圆半径。