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2021 年福建预赛
F3解答题椭圆
已知椭圆
C:a2x2+b2y2=1(a>b>0)
的离心率为 2/3，A1,A2 分别为椭圆 C 的左、右顶点，B 为椭圆 C 的上顶点， F1 为椭圆 C 的左焦点，且 △A1F1B 的面积为 5/2。
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设过点 D(1,0) 的动直线 l 交椭圆 C 于 E,F 两点（点 E 在 x 轴上方）， M,N 分别为直线 A1E,A2F 与 y 轴的交点。求 ∣OM∣/∣ON∣ 的值。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
思路
第一问由离心率和面积确定半轴；第二问对非竖直割线使用韦达定理，并单独补查竖直割线。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
试着想起：2023 年吉林预赛 · P006710
已知椭圆
M:a2x2+b2y2=1(a>b>0)
经过点 P(−2,0)，且其焦距为 23。
（1）求椭圆 M 的方程；
（2）过点 Q(−2,−1) 作直线 l 与椭圆 M 的下半部分相交于两个不同点 A,B，连接 PA,PB 分别交直线 y=−1 于 C,D 两点。求证： ∣QC∣+∣QD∣−∣QC∣⋅∣QD∣ 为定值。
解答
（1）设半焦距为 c。由 c/a=2/3，有
b2=a2−c2=95a2.
又 A1F1=a−c=a/3，故
21⋅3a⋅b=25.
代入 b=5a/3 得 a=3,b=5，所以
9x2+5y2=1.
（2）先设 l 非竖直。因 l 不是 x 轴，可写为
y=m(x−1),m=0.
记 E,F 的横坐标为 x1,x2。代入椭圆得
(5+9m2)x2−18m2x+9m2−45=0,
从而
x1x2=5(x1+x2)−9.(1)
由两点式，
yM=x1+33m(x1−1),yN=3−x23m(x2−1).
利用（1），
2(x1−1)(3−x2)+(x1+3)(x2−1)=5(x1+x2)−x1x2−9=0.
故 yM/yN=−1/2，于是 ∣OM∣/∣ON∣=1/2。
若 l 为竖直线 x=1，则
E=(1,3210),F=(1,−3210).
直线 A1E,A2F 在 y 轴上的截距绝对值分别为
43∣yE∣,23∣yF∣.
因 ∣yE∣=∣yF∣，仍有
∣ON∣∣OM∣=21.
复核
点 D 在椭圆内部，竖直线确为合法割线；水平线不满足点 E 在 x 轴上方，已自然排除。
方法总结
斜率参数化必须检查竖直线；非竖直割线的截距比可由交点横坐标的韦达关系直接化简。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
参数化动弦后需发现根和根积的线性关系，使两条顶点连线纵截距比消掉斜率；竖直动弦要单独检查。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：建直角坐标系解几何题、韦达定理：根的整体关系
专题卡：直线截椭圆求弦长、交点：联立方程，用韦达定理算两根之和与积
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同一骨架 2023 年吉林预赛 · P006710
两题都先把投影到固定直线后的截距写成椭圆端点参数的分式，再利用两端点同属一条过定点的割线消去自由参数。常用的是端点参数的和、积关系，而不是分别求出两个交点。
一题用半角参数把距离变成正参数并排除重合分支，另一题用横坐标韦达关系处理有向截距比，还须单查竖直线。
培玉 · 一试