2024 年江苏预赛

思路

函数方程的幂迭代不需要连续性：若k(xy)=k(x)+k(y)，归纳得k(x^n)=nk(x)。全局有界条件可用来消除不规则的可加解。

想法从哪来：先试简单多项式会发现一个恰好满足方程的特解，但猜对不等于唯一。把这个特解减掉，误差的乘法关系没有常数干扰，再除以自变量平方，便出现乘法变加法的结构。这里不能直接宣称它是普通对数，因为题目没给连续性；更有力的是全局误差界。对大于一的x反复取幂，加法关系使偏差按n增长，而有界条件除以x的高次幂后却趋零，两者只有在偏差为零时相容。小于一的正数用倒数拉回，负数则先求-1的值。最后补上零点，并检验得到的函数确实满足原式。

减去显然的特解 $x^2$，再把乘法方程除以 $x^2$ 化为对数型可加方程。