2009 年山西预赛 · 第 3 题

解答

由椭圆方程知 $F_1{F}_2=2$，由椭圆定义，焦半径和 $A{F}_1+A{F}_2=B{F}_1+B{F}_2=2\sqrt{2}$。 令 $A$ 在从 $F_2$ 向右上方的射线上，$A{F}_2=r_{+}>0$；另一端 $B{F}_2=r_{-}>0$。 在 $△F_1{F}_{2}A$ 中，$\angle F_1{F}_{2}A=135^{\circ }$，所以

在 $△F_1{F}_{2}B$ 中，$\angle F_1{F}_{2}B=45^{\circ }$，同理

两式中 $2\sqrt{2}-r_{\pm }$ 均为正，回代余弦定理与焦半径和均成立。 所以 $AB=r_{+}+r_{-}=4\sqrt{2}/3$。 $F_1$ 到弦所在直线的距离为 $F_1{F}_2\sin 45^{\circ }=\sqrt{2}$，因此