2022 年福建预赛

解答

记

若 $a>1$，则 $f(x)>0$ 等价于 $q(x)>1$。此时 $q^{\prime }(x)=ax-1>0$ 对 $x\in [2,3]$ 恒成立，故只需

即 $a>5/4$。

若 $0<a<1$，则要求 $0<q(x)<1$。当 $a\le 1/2$ 时， $q(3)=9a/2-5/2\le -1/4<0$，不合题意；故只能有 $a>1/2$。 这时 $q^{\prime }(x)=ax-1>0$ 对 $x\in [2,3]$ 恒成立，所以条件等价于

即

从而 $3/4<a<7/9$。

综上，