2024 年广东预赛

解答

相似变换不改变所证角度，故设圆 $O$ 为单位圆。以劣弧 $AB$ 的中点方向为实轴正向，可令点 $A,B,C$ 的复数坐标分别为

其中由 $AB<\sqrt{3}$ 得 $0<\alpha <\pi /3$。于是

且直线 $MB$ 是竖直线。

设 $D$ 的坐标为 $d=e^{-i\beta }$，其中 $\alpha <\beta <\pi$。由 $D,E$ 所在的劣弧以及等弦 $BD=CE$，两弦所对的小圆心角相等，故 $E$ 的坐标为

单位圆上两点 $u,v$ 的连线方程为

设 $F$ 的坐标为 $f$。把上式分别用于 $AD$ 与 $BE$，得到

联立解得

因此

写 $f=x+iy$，并注意 $|1-a{|}^2=2(1-m)$，可得

下面只在直线 $CF$ 上计算。记

直线 $CF$ 上的点可写成

它与单位圆除 $C$ 外的另一个交点 $N$ 对应

因为 $GN=FN$ 且 $F,N,G$ 共线，所以 $N$ 是 $FG$ 的中点。故若

则

由式（1），

从而

式（2）还给出 $k(2x+1-m)=1+m$，所以

另一方面，

向量 $(m-x,y)$ 正是 $(x-m,y)$ 关于竖直线 $MB$ 的镜像；又 $k>0$，故射线 $MG$ 是射线 $MF$ 关于 $MB$ 的镜像。因此