2018 年河南预赛 · 第 12 题

解答

若有边长为一，右侧为零而左侧正，不可能。排序为 $2\le a\le b\le c$ 后，原式等价于

$a=2$ 时后两因子都小于一，乘积小于一半；$a\ge 5$ 时乘积至少 $(4/5{)}^3>1/2$，也不可能。因此只需 $a=3,4$。 当 $a=3$ 时，整理得 $(b-4)(c-4)=12$。因 $b,c\ge 3$ 且 $b\le c$，只有正因子对给出 $(b,c)=(5,16),(6,10),(7,8)$；前两对不满足 $3+b>c$，只保留 $(3,7,8)$。 当 $a=4$ 时，得 $(b-3)(c-3)=6$，给出 $(b,c)=(4,9),(5,6)$；前者违反 $4+4>9$，后者合法。 所以存在，全部边长组为