同一骨架 2024 年重庆预赛 · P006429
两题都应先得到实际轨迹，再求定点到该集合的最短距离。线段上的垂足必须落在线段内；直线与圆并成的删点轨迹则要分别比较，并确认最近点没有因非零条件被排除。距离下界与合法取等点缺一不可。
一题的距离和等号使椭圆退化为线段，另一题由实部因式分解产生两种轨迹；原表达式的定义域还会在候选轨迹上留下孔。
培玉 · 一试
2025 年吉林预赛
退化椭圆上的复数模最小值
F2填空题复数的几何意义
若复数 满足
则 的最小值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
把复数看作平面点。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
等式左侧是到两个定点的距离和，而右侧恰好等于两个定点间的 距离，所以通常的椭圆在这里退化为一条线段。
解答
设 对应点 。两个定点分别为
且
由三角不等式
题设取等号，当且仅当 在线段 上。因此问题变成求原点到线段 的 最短距离。
直线 的方程为 。原点在该直线上的垂足为
它位于线段 内，故
复核
垂足可写成 ，参数 ，确在线段内；对应复数满足 原距离和等式。
方法总结
复数模之和等于两焦点距离时，先识别三角不等式取等号，轨迹不是普通椭圆而是连接 两焦点的线段。随后用点到直线距离并检查垂足是否在线段上。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
两定点距离恰等于模和常数，直接识别三角不等式等号使轨迹为线段，再核垂足在线段内即可求最小模。
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