2012 年河北预赛（高三卷） · 第 6 题

解答

有 $f^{\prime }(x)=x^2-2(a-1)x+b^2$。因首项系数正，处处非负当且仅当 $b^2\ge (a-1{)}^2$，即 $b\ge a-1$。这时即使出现一个零导数点，函数仍严格递增。对 $a=1,2,3,4$，合法的 $b$ 分别有三、三、二、一种，共九种；全部等可能参数组为十二种。因此所求概率为 $\boxed{3/4}$。