2025 年江西预赛

解答

$n=1$ 显然符合条件。以下设 $n>1$。因 $F(n^2)$ 为整数，$\sqrt{n}$ 也是整数， 故 $n$ 为完全平方数。又 $F(n^2)$ 为奇数，所以 $\sqrt{n}$ 为奇数，$n$ 也为奇数。 写成

题设等价于

先记录几个简单比较：

而当 $p\ge 7$ 时，对所有 $\lambda \ge 1$ 都有

这些结论从 $\lambda =1,2,3$ 直接核对后即可归纳，因为指数项此后增长更快。

若 $k=1$，式（1）为

由上述比较只可能有

分别得到

若 $k=2$，令

因 $p_2\ge 5$，有 $R_2\ge 1$。要使 $R_1{R}_2=1$，只需检查

当 $(p_1,{\lambda }_1)=(3,2)$ 时，$R_1=1$，故必须 $(p_2,{\lambda }_2)=(5,1)$，得到

当 $(p_1,{\lambda }_1)=(5,1)$ 时，$p_2\ge 7$，由式（2）知不可能。 当 $(p_1,{\lambda }_1)=(3,1)$ 时，式（1）化为

若 $p_2\ne 5$，则 $p_2^{{\lambda }_2}\mid 4{\lambda }_2+1$，与 $p_2^{{\lambda }_2}\ge 5^{{\lambda }_2}\ge 4{\lambda }_2+1$ 矛盾；若 $p_2=5$，则

直接检查 ${\lambda }_2=1,2$，并对 ${\lambda }_2\ge 3$ 比较增长率，均不成立。

最后设 $k\ge 3$。由式（2）及 $p_2\ge 5$，式（1）要成立必须有

若 $k\ge 4$，则

其余因子也大于 $1$，矛盾。因此只需考察 $k=3$。 若 ${\lambda }_2\ge 2$，则

若 ${\lambda }_3\ge 2$，则

所以只能有 ${\lambda }_2={\lambda }_3=1$。此时式（1）要求

显然不可能。故 $k\ge 3$ 时无解。

综上，全部解为

它们的和为