2023 年甘肃预赛

已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ，且

a_{n + 1} = \frac{a _{n}^{2}}{a _{n} + 2}, n \in N_{+} .

求证：

(1)
$a_{n} \leq \frac{1}{2 ^{n - 2}}$ ；
(2)
$\frac{2 a _{1}}{a _{1} + 2} + \frac{4 a _{2}}{a _{2} + 2} + \dots + \frac{2 n a _{n}}{a _{n} + 2} < 4$ 。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

为什么评为 F3（会透露解法方向）

第一问得逐项减半后，第二问还需识别分式为相邻项差并作加权相消，才能利用前问的几何界。

用到的方法（会透露解法方向）

联系 · 1 条

同一骨架 2024 年吉林预赛 · P006521