2014 年河南预赛 · 第 10 题

解答

设圆为 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，代入 $x=y^2/(2p)$ 得四次方程，其中没有三次项。所以 $y_A+y_B+y_C+y_D=0$。抛物线任意两不同点的弦斜率为 $2p/(y_1+y_2)$；已知 $AB$ 的斜率为一，故 $y_A+y_B=2p$，于是 $y_C+y_D=-2p$，$CD$ 的斜率为负一。两斜率乘积负一，所以 $\boxed{AB\perp CD}$。