2024 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 6 题

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=2$，$a_{n+1}=a_n^2+2a_n$。

1. (1)

   求证：数列 $\{\lg (a_n+1)\}$ 是等比数列，并求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

2. (2)

   若

   $$b_n=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_n+2},$$

   且数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，求证：$S_n<1$。