2025 年四川预赛

解答

设 $z=e^{it}$，则 $\overline{z}=e^{-it}$。原式模内的复数等于

令 $u=|\cos 2t|\in [0,1]$，由三倍角公式，所求模为 $4u(3-2u^2)$。其导数为 $12-24u^2$，在 $[0,1/\sqrt{2}]$ 非负，在 $[1/\sqrt{2},1]$ 非正，因此最大值为 $\boxed{4\sqrt{2}}$。取 $t=\pi /8$ 可达到。