2013 年河南预赛 · 第 6 题

解答

设 $g=\gcd (x,y)$，$x=ga,y=gb$，其中 $a,b$ 为互素正整数。方程化为

因此 $a^2\mid b^3$。互素性迫 $a=1$；同理 $b=1$，于是 $g=2$。故唯一正整数解为 $(x,y)=(2,2)$，它在允许范围内。 先后两次取数允许相同，有序等可能数对共 $2013^2$ 个，所以所求概率为