培玉 · 一试
2026 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 11 题
（本题满分 分）称满足下述条件 (i) 和 (ii) 的实数列 是一个 -有趣数列：
(i) 对任意 ，都有 ；
(ii) 存在正整数 ，使得 成等比数列，且该等比数列的公比 。
记 为使得 -有趣数列存在的最小正整数 。求 的值，并确定不同的 -有趣数列的个数。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
互素整数满足整除消去：若 整除 且 互素，则 整除 。这里公比非零、首项非零按等比数列的定义处理；每段单位步路程至少为两端差的绝对值，等号要求一直同向。
想法从哪来：整段数列的首项可以是实数，直接枚举首项没有入口；但每步只走正负一个单位，所以任意两项之差都是整数。只看选出的十个等比项，相邻差本身也成等比，且九个差都是非零整数。相邻两个差的比因此迫使公比为有理数，这比先猜整数公比更完整。 把公比约成 后，最后一个差仍为整数，迫使第一个差含有足够高次的分母因子；九段最少步数于是变成一个关于 的正整数和。排除绝对值为一的公比后，最小情形自然落到一个为一、另一个为二。再逐项追踪取等：不能有段内绕路，也不能在十个选中项之前之后增加步数。负公比与倒序情形都须保留，最后以首项区分完整有序数列。
把十个等比项之间的距离化为九个非零整数，再用分母整除性估计总步数；取等时每一段都只能单向行走。
解答
按等比数列的定义，所选各项非零。记它们为 ，并令 。单位步长使相邻所选项之差 都是非零整数，；因此 是有理数。写 ，其中 互素，。由 为整数知 ， 为非零整数。所需步数至少为 。由于 ，两个正整数 至少一个不小于二，此和不小于 。所以 。取等必须 ，且 或 ，即 。对每个 及 ，令 ，在相邻等比项之间用同一方向的单位步连接，恰用 步。最短情形不能在首尾或各段增加往返，故这些构造已穷尽。八个首项为 ，互不相同。故 。
复核
计数针对整个有序实数列；每组参数的首项已区分八个构造。负公比只改变各段方向，并未被遗漏。十个所选项对应九段距离。
方法总结
单位步长把有理公比的分母变为整除约束；极小长度还会强制所有连接段取最短路线。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
须连接有理公比、互素整除、步长下界和逐段取等，最后排除逆序重计。
已记下，谢谢！