2023 年上海高中数学竞赛（高三卷）

两题都把内接三角形的固定形状保留下来，只让尺度和位置变化。顶点落在外三角形各边上的条件是线性的；消去位置后，面积最值可归结为尺度受一个方向或线性约束的限制。

外、内三角形的形状互换了，边界条件控制尺度的结构仍然相同。

两题的几何条件先给出一个归一化总量，目标则成为与它配对的平方和或倒数和。把这两部分放进柯西不等式，不仅得到下界，也同时给出取等的比例；比例还须满足原图中的位置限制。

切点坐标的平方与边上截距的角色不同，但都是约束控制尺度、取等比例定位构型。

先在纯代数条件下看清“线性式固定时，向量长度怎样最小”，再到内接图形中寻找同一种约束。几何题的顶点落边条件会产生线性关系，而待求面积转成长度平方；系数方向与取等方向的匹配是共同关键。

前题直接给线性约束，后题需要先通过坐标和固定旋转把几何条件译成线性约束。

两题都让柯西不等式在一个线性式与欧氏长度之间建立精确界，等号要求相关向量同向或反向。真正的几何限制还须单独核查：方向虽满足代数等号，若落在不允许的半圆或边段外，仍不能当作可达端点。

一题固定圆周长度求投影范围，另一题由顶点在线段上的条件固定线性式，再反求长度平方的最小值。