同一骨架 2024 年吉林预赛 · P006523
切线长的平方可以换成点对圆的幂。两题都先把相关长度统一到点幂或割线乘积，再证明一个新的平方长度恰好对应同一份点幂，完成等幂或相切的判定。
一个比较同一点对两圆的幂，另一个用距离平方与点幂相等识别新切线。
培玉 · 一试
2025 年山东预赛
内外两圆关于切线交点的等幂
F4解答题平面几何综合
如图所示，已知 内接于圆 ，圆 与 分别相切于点 ，点 在圆 上且满足 ，圆 在点 处的切线交 于点 。
求证：点 对圆 与圆 等幂。
注：点到圆的幂是指该点到圆心的距离与半径的平方差。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
Stewart 定理的外分形式是同一直线上三点到另一个点的距离平方恒等式，可通过底边坐标展开证明。切线弦角关系与共圆角关系均可按模 的有向角处理，以兼容延长线位置。
想法从哪来：比较同一点对两圆的幂，先分别写成圆心距离平方减半径平方与割线有向距离积。它们暂时属于不同图形，可以用沿底边延长线的距离平方关系，把圆心项转成两个顶点切线段的平方。目标因此降成一个长度平方比，而不必直接求两个圆心。 切圆给两个切点处的直角，另一个已知直角又把指定圆周点纳入同一个直径圆；这条新共圆关系与原外接圆配合，能将切线段比转成两条弦长之比。最后外接圆切线与底边交点产生的相似，恰好给这些弦长比的平方。追角与比例须按对应端点检查，延长线上要统一有向长度约定，不能靠图中大小猜方向。
先用 Stewart 定理把两个点幂之差转成边长比，再借助两组共圆与切线弦定理，把所需边长比化成两次相似三角形。
解答
在三角形 中，点 在 的延长线上。Stewart 定理的外分形式给出
圆 分别与 相切于 ，故
代入（1）并除以 ，得到
其中 是 对圆 的幂，而 是 对圆 的幂。因此只需证明
由 、，四点 共圆；同理由 ，四点 共圆。因此
又因 共圆，，从而
直线 是圆 在 处的切线。由切线弦定理，
再结合 ，得
所以
进而
最后一步用了（4）。这正是（3），代回（2）即知两个点幂相等。
复核
点 位于 延长线上，故 都取正长度，Stewart 外分式与割线点幂均使用同一符号约定。两次相似的角对应和比例方向已逐项核对。
方法总结
要比较同一点对两个圆的幂，可先把幂写成长度式，再寻找能连接这两组长度的比例。切圆产生直角共圆，外接圆切线产生弦切角，二者常通过相似三角形衔接。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
须先将等幂转成切点距离平方比，再通过辅助共圆和切线产生的两组相似补足该比例。
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