2015 年河北预赛 · 第 9 题

解答

垂直给 $(\sin A+\sin C)(a-c)+\sin B(b-a)=0$，由正弦定理化为 $a^2+b^2-ab-c^2=0$，故 $\boxed{C=\pi /3}$。再用 $B=\pi -C-A$，第二式化为 $2\sin 2A-\sin (2A+C)=\sin C$，即 $\sqrt{3}\sin 2A-\cos 2A=1$。因此 $\sin (2A-\pi /6)=1/2$。因 $0<A<2\pi /3$，完整解为 $A=\pi /6$ 或 $\pi /2$，B 分别为 $\pi /2$ 或 $\pi /6$。$c=2$ 时正弦定理尺度为 $4/\sqrt{3}$，所以 a、b 为 $2/\sqrt{3}$ 与 $4/\sqrt{3}$ 互换。两支面积相同，$S=ab\sin C/2=\boxed{2\sqrt{3}/3}$。