2012 年河北预赛（高三卷） · 第 9 题

解答

由 $a^2+c^2=2b^2$，得 $\cos B=(a^2+c^2)/(4ac)\ge 1/2$。非退化又使 $B>0$，所以 $\boxed{0<B\le \pi /3}$。反之每个此区间的 B 均可选正边比 $r=a/c$ 满足 $r+1/r=4\cos B$，再按余弦定理构造三角形，故范围完整。方程左端为 $2\cos (B-\pi /6)$：在 $(0,\pi /6]$ 严格递增，像集 $(\sqrt{3},2]$；在 $[\pi /6,\pi /3]$ 严格递减，像集 $[\sqrt{3},2]$。因此 $m=2$ 时只有峰点一解，$m=\sqrt{3}$ 时只有右端一解，中间水平有两解，其余无解。所求为 $\boxed{m\in \{\sqrt{3},2\}}$。