2016 年中科大少年班初试 · 第 11 题

解答

$x=0$ 不可能；$x=1$ 时 $5^y{7}^z=1$，得 $(x,y,z)=(1,0,0)$；$x=2$ 时要求乘积为三，不可能。 现设 $x\ge 3$。模四得 $z$ 为奇数；模八时 $7^z\equiv 7$，所以 $5^y\equiv 1(\mathrm{mod}8)$，得 $y$ 为偶数。再模三，$2^x-1\equiv 1$，故 $x$ 为奇数。如果 $y>0$，模五给 $2^x\equiv 1$，迫 $4\mid x$，矛盾。因此 $y=0$。 此时 $2^x=7^z+1$，且 $z$ 为奇数。分解

括号是奇数，故左侧含二的精确次数为三，得到 $x=3$，于是 $7^z=7$，$z=1$。所以全部解为