2022 年全国高中数学联赛一试（A1 卷） · 第 9 题

解答

$f(x)\ge 0$，$f(1)=0$，且 $f$ 在 $[1,+\infty )$ 上严格递增，所以

$g$ 在 $[0,1]$ 上严格递增，$g(1)=1$，而所有实数 $x$ 都满足 $g(x)\le 1$，所以

当 $0<a\le 1$ 时，方程为 $\sin (\pi a/2)=1/2$。因 $\pi a/2\in (0,\pi /2]$，得 $a=1/3$。 当 $a>1$ 时，方程为 $1-\lg a=1/2$，得 $a=\sqrt{10}$。 两值均符合各自范围，故 $\boxed{a=1/3\text{ 或 }\sqrt{10}}$。