易混 2024 年浙江预赛 · P005915
两题都把集合成员条件变成不等式,但量词决定最后取交还是取并。一个集合包含于另一解集,要求每个成员都通过检验;存在某个离散参数使成员条件成立,则只需进入一个对应解集。先把量词译清楚,才能选择最坏输入或逐参数合并。
前题利用可取端点给全称条件的必要界,再证全域充分;后题先列尽离散参数,再合并各参数允许的点,不能强求一个点同时满足全部参数。
存在量词集合中的最小元素
已知集合
集合
则 中元素的最小值为。
分数写 a/b,根号写 √ 或 sqrt,π 写 pi 也可以。
先把对数条件和组合数条件分别化为区间与有限集合,再对每个可能的 解 。
由于 且目标值属于正区间,负数 可先排除。
由
可得
又
而 随 严格增加,故
若 ,则对 有 ,不可能属于 ,所以只需考虑 。 当 时,由基本不等式 ,故条件等价于
即
因此 。当 时,同理得到
故
后一闭区间的左端点大于 ,所以 中元素的最小值为
取 时,,故最小值确能取得。两种 已穷尽 ,且 已由符号排除。
含存在量词的集合最值,可先把离散参数全部列出,再求各参数对应可行集的并集。 分式不等式求解前先定符号,可避免不等号方向错误。
A、B可直接还原为区间和两元素集,分别解b=4、5的分式不等式,再比较所得区间左端即可。
易混 2024 年浙江预赛 · P005915
两题都把集合成员条件变成不等式,但量词决定最后取交还是取并。一个集合包含于另一解集,要求每个成员都通过检验;存在某个离散参数使成员条件成立,则只需进入一个对应解集。先把量词译清楚,才能选择最坏输入或逐参数合并。
前题利用可取端点给全称条件的必要界,再证全域充分;后题先列尽离散参数,再合并各参数允许的点,不能强求一个点同时满足全部参数。
已记下,谢谢!