2024 年新疆预赛

解答

记 $B=b^2>0$，$c=\sqrt{a^2+B}$，动点记为 $P=(x,y)$，其中 $y\ge \sqrt{2}$。由两焦半径 $P{F}_1=ex+a,P{F}_2=ex-a$ 及内角平分线定理，

角平分线 $PM$ 斜率为 $Bx/(a^{2}y)$，故其纵截距为

在题设所说的垂直构型中，$ON=2$ 给出 $y=B/2$。由 $(P-N)\cdot (F_1-N)=0$ 得 $cx=B+4$。再代入双曲线方程，得到

所以 $(a^2-4)(a^2+B+4)=0$，必有 $a^2=4$。该构型还需 $B/2\ge \sqrt{2}$，故

第(1)问，由 $x=2\sqrt{1+y^2/B}$ 随 $y$ 递增，得

第(2)问，令 $u=B/y$，则 $0<u\le B/\sqrt{2}$，$c=\sqrt{B+4}$。直线 $F_{1}N$ 参数式为

代入双曲线，得到

判别式为 $c^2+u^2>0$；二次项为零时只剩一个有限交点，不属于题设的两个交点构型。对其余参数，由根差、弦长和点线距离可得面积

分母为零的参数为 $u_0=c\sqrt{B}/2$。在 $0<u<u_0$ 上，分子严格递增、分母正且严格递减，故 $S$ 严格递增，并从 $0$ 趋于无穷。 若 $2\sqrt{2}\le B<4$，则 $B/\sqrt{2}<u_0$，所有参数均在第一支；上端可取，代入后得

若 $B\ge 4$，则 $u_0\le B/\sqrt{2}$，仅 $0<u<u_0$ 这一支就已覆盖全部正数，故

以上保留题设未固定的参数 $B=b^2$，不另加虚半轴长度。