2026 年中科大少年班入围考 · 第 8 题

解答

原式要求 $a=e^x/x^2>0$，且 $x\ne 0$。令 $H(x)=e^x/x^2$，导数为 $e^x(x-2)/x^3$。在负半轴上它严格递增，值域为正半轴，所以每个 $a>0$ 都有一个负根。在正半轴上它先减后增，最小值为 $H(2)=e^2/4$。因此 $0<a<e^2/4$ 时没有正根，等于该值时一个正根，更大时两个正根；非正参数无根。所求为 $\boxed{a\in (0,e^2/4)}$。