培玉 · 一试
2026 年中科大少年班入围考 · 第 2 题
F2填空题复数的概念与运算
若复数满足，则。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
和与积同时已知时，把两个复数视作同一个实系数二次方程的两根。
思路
确定共轭关系后，目标会变成普通的平方和。
解答
由 ，可知 是
的两根，即 与 ，次序可以交换。因此 ，所求式为
复核
直接取 ，则两项分别为 、，相加为零；交换两根后仍相同。两根的和与积也确为给定值。
方法总结
实系数二次方程的非实根互为共轭。已知两个数的和、积时，先恢复根的结构，再用对称式计算，避免不必要的逐项展开。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
把给定的和与积辨认为同一二次方程的两根，再代入含共轭的表达式；路线常规，须核两根互换不改变结果。
已记下，谢谢！