垫脚石（相关题 → 此题） 2025 年广西预赛 · P006240
先用球的轴截面将圆锥底面半径与高度联系起来，解决一次最大体积。后题沿用这一层结果后，还要独立处理重铸过程中的体积守恒，将圆柱表面积化成单个正参数的函数。
由一种几何体的内接极值，增加第二种几何体的固定体积极值，两层最优条件应分别核验。
培玉 · 一试
2022 年重庆预赛
最大体积圆锥重铸圆柱
F3填空题立体几何综合
在半径为 的实心球中挖掉一个体积最大的圆锥，再将该圆锥重新熔成一个圆柱，则圆柱表面积的最小值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
先确定球内接圆锥的最大体积，再在体积固定的条件下优化闭圆柱的总表面积。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
设球内接圆锥高为 ，底面半径为 。由截面几何关系 ，故
在 上求导可知最大值在 处取得，因而
把它熔成底面半径为 、高为 的闭圆柱，则 ，总表面积
由求导或均值不等式，最小值在 ，亦即 时取得。因此
复核
两个极值点都位于正参数内部；圆柱使用了两个底面的总表面积，未漏算底面。
方法总结
“先取最大材料、再重铸最省表面积”是两层独立极值：先由内接关系消元，再对固定体积的圆柱做一元优化。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
先需以锥高统一球内接半径关系并求最大体积，再将该体积作为圆柱约束；选定一元化后两次导数均为常规模型。
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