2026 年广州预赛

解答

记 $q=\cos A$。三角形中有

例如取 $B=(0,0),C=(a,0),A=(u,v)$，其中 $v>0$，则 $H=(u,u(a-u)/v)$。结合 $bc\cos A=u(u-a)+v^2$ 及 $av=bc\sin A$，即得上述等式。 第(1)问中 $A=\pi /3$，所以 $4=a/\sqrt{3}$，得到 $\boxed{a=4\sqrt{3}}$。 第(2)问中 $b^2+c^2+l^2=50$。由余弦定理及垂心距离式，

即

令 $Y=4q^3-5q^2$。分别讨论：

当 $l=3,\{b,c\}=\{4,5\}$ 时，$40q^3-50q^2+9=0$，故 $Y=-9/10$。

当 $l=4,\{b,c\}=\{3,5\}$ 时，$30q^3-50q^2+16=0$。消去 $q$ 得

其两个负根都能取到。

当 $l=5,\{b,c\}=\{3,4\}$ 时，$24q^3-50q^2+25=0$。同理得到

其两个负根都能取到。

这里每个关于 $q$ 的三次式在 $-1,0,1,+\infty$ 依次取负、正、负、正值，恰有一个根落在 $(-1,0)$、$(0,1)$、$(1,+\infty )$。后两种分配中，该式在 $q=5/4$ 仍负，故第三根大于 $5/4$，对应 $Y>0$；两个合法根对应 $Y<0$。反之，任一合法 $q$ 都可与相应的两边 $b,c$ 构成夹角为 $\arccos q$ 的三角形，并由所列方程保证 $AH=l$，故这些值确实可达。 因此，若用 $y_P^{-},y_P^{+}$ 表示 $P$ 的两个负根，用 $y_Q^{-},y_Q^{+}$ 表示 $Q$ 的两个负根，则完整答案为