一试训练题

解答

当 $(x,y)\ne (0,0)$ 时，设 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$，则

由 $x^2+(y-2{)}^2\le 1$ 知 $1\le y\le 3$，圆盘位于上半平面。自原点引圆的两条切线，切点到圆心的半径与切线垂直，故 $\sin \phi =\frac{1}{2}$（$\phi$ 为切线与 $y$ 轴夹角），$\phi =\frac{\pi }{6}$，于是圆盘上点的极角范围是

反过来，任取这段内的 $\theta$，令 $r=2\sin \theta >0$，则 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ 满足 $x^2+(y-2{)}^2=4{\cos }^2\theta \le 1$，所以每个方向都确实可达。故 $\theta -\frac{\pi }{3}\in [0,\frac{\pi }{3}]$，$\cos (\theta -\frac{\pi }{3})\in [\frac{1}{2},1]$，值域为 $[1,2]$。