2016 年湖北预赛 · 第 12 题

解答

由取 $y=0$ 及 $f(1)\ne 0$ 得 $f(0)=2$。令 $F_n=f(n)$，取 $x=n,y=1$ 得 $F_{n+1}=(10/3)F_n-F_{n-1}$，两初值确定 $F_n=3^n+3^{-n}$。于是 $a_n=3F_n-F_{n-1}=\boxed{8\cdot 3^{n-1}}$。再得 $b_n=3^n/(3^n-1{)}^2$，故 $b_1=3/4$。对 $k\ge 2$，$3^k-1\ge (8/9)3^k$，从而 $b_k\le (81/64)3^{-k}<(3/2)3^{-k}$。所以 $n\ge 2$ 时 $S_n<3/4+(3/2){\sum }_{k=2}^n{3}^{-k}=1-3^{1-n}/4<1$；$S_1=3/4<1$，结论 $\boxed{S_n<1}$ 成立。