2022 年福建预赛

三角形截线比例的最值

F3填空题向量的数量积与几何意义

点 $M, N$ 分别在 $△ A BC$ 的边 $A B, A C$ 上，且

A M = x A B, A N = y A C .

$D$ 为线段 $BC$ 的中点， $G$ 为线段 $MN$ 与 $A D$ 的交点。若 $A G = \frac{3}{5} A D$ ，则 $\frac{1}{x ^{2}} + \frac{4}{y ^{2}}$ 的最小值为。

作答

分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。

为什么评为 F3（会透露解法方向）

关键是由G的中线比例转成1/x+1/y=10/3，且保留边上条件给两个倒数均不小于1；二次式无约束顶点不合法，最值落在端点。

用到的方法（会透露解法方向）