易混 2021 年中科大少年班初试 第 7 题 · P009728
面对没有连续性等附加条件的函数方程，两题都要从恒等式本身锁定任意输入处的函数值。先检查结构允许的特殊代入；若一次代入不能封闭，再比较多次运算的兼容性。
一题比较三变量和的两种结合顺序，另一题有能使三角系数消失的特殊角；不能因出现加法就擅自添加正则条件。
培玉 · 一试
2026 年江苏预赛
无正则性假设的乘法型函数方程
F3填空题函数综合
设函数 的定义域为 ，且对任意 ，均有
这样的函数 共有个。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
方程没有连续性等正则条件，不能先猜多项式。
思路
把 按两种结合顺序展开， 可直接迫使 与 成比例。
解答
零函数不满足题设。令 ，可得
故 。
一方面，
另一方面，
比较两式并取 ，得到
再令 ，可知存在常数 使
代回原方程得
所以 。两个函数
均满足题设，故这样的函数共有
个。
复核
结合律比较不使用连续性、单调性或可测性；两个候选函数逐项代入均成立， 故不存在被正则性假设遗漏的奇异解。
方法总结
对含乘积的加法型函数方程，可把三变量和按两种顺序展开。 结合律产生的恒等式往往比直接代特殊值更强，并能在无正则性条件下完成分类。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
直接代点不足以确定全函数，需比较f((x+y)+z)和f(x+(y+z))消去高次项，强制f为仿射后再筛选斜率。
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