2025 年上海预赛

思路

正整数值的严格递增函数在 $p<q$ 时满足 $f(q)-f(p)\ge q-p$。若恰好相等，中间每一步只能增加一；这是离散整性带来的结论，实值递增函数不具备这一性质。

想法从哪来：严格递增且取正整数值提供了很强的“空隙填满”能力。先用迭代式排除函数值不大于自变量的可能，便能从最小输入锁定前两个函数值。随后每个已知值还能通过再次迭代生成一个新值；若两个已知端点之间只留恰好够多的整数位置，中间值就被唯一确定。 目标很大，不能逐项填到那里。应同时寻找迭代和尺度的关系：对同一个三重复合分别从内层、外层使用原式，就能得到按三倍缩放的公式。于是先从少量关键值构造到目标去掉三的幂后的输入，再乘回尺度。每次填空都应核对“有几个输入、几个可用整数”，避免把仅有单调性误当连续线性。

先证明 $f(n)>n$，再利用严格递增性把已知的两个函数值之间所有整数值依次填满；迭代关系还给出缩放公式 $f(3n)=3f(n)$。