2017 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 11 题

解答

（1）设 $z_j=x_j+y_j\mathrm{i}$（$j=1,2$），则 $x_j>0$、$x_j^2-y_j^2=2$，从而 $x_j=\sqrt{y_j^2+2}$。注意

两边比较的量均非负，所以

取 $z_1=z_2=\sqrt{2}$ 时达到，故最小值为 $\boxed{2}$。

（2）令 $P_1=(x_1,y_1)$，$P_2^{\prime }=(x_2,-y_2)$，二者都在双曲线 $x^2-y^2=2$ 的右支。它的左右焦点分别为 $F_1=(-2,0)$、$F_2=(2,0)$，由焦点距离差性质，

利用共轭不改变模，原目标等于

取 $z_1=z_2=2+\sqrt{2}\mathrm{i}$，则 $P_1=(2,\sqrt{2})$、$P_2^{\prime }=(2,-\sqrt{2})$，$F_2$ 位于线段 $P_1{P}_2^{\prime }$ 上，三角不等式取等。因此最小值为 $\boxed{4\sqrt{2}}$。