2025 年山东预赛

解答

（1）显然 $|{\mathcal{F}}_0|=1$，且由空集对应的条件知 $s:=|{\mathcal{F}}_1|\ge 13$。令 $e=|{\mathcal{F}}_2|$，并计数

由题设，

而每个二元集至多含有两个 ${\mathcal{F}}_1$ 中的一元集，所以

若 $s\ge 14$，则（1）（2）给出 $e\ge 91$，从而 $|\mathcal{F}|\ge 1+14+91>105$。

若 $s=13$，每个选定元素在另外十二个选定元素中至多有十二个搭档，故至少还需要一条连向未选元素的二元集。这样的跨出二元集至少有 $13$ 个，且每个只贡献一次 $\mathcal{K}$ 中的包含关系。因此

结合 $|\mathcal{K}|\ge 169$，仍得 $e\ge 91$。于是总有

取 ${\mathcal{F}}_1$ 为某个 $13$ 元集合的全部一元子集，${\mathcal{F}}_2$ 为包含它的一个 $14$ 元集合的全部二元子集，即可达到

故

（2）达到 $105$ 时必有 $s=13,e=91$。设 ${\mathcal{F}}_1$ 对应的元素集合为 $A$。上面的所有不等式均须取等号，因此 ${\mathcal{F}}_2$ 必须包含 $A$ 内部的全部 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{13}{2}\right)=78$ 个二元集，并且对每个 $a\in A$ 恰有一条跨出边

没有两个选定元素共用同一条跨出边，但不同的 $a$ 可以选择同一个外部元素 $b(a)$。

先选 $A$，有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2025}{13}\right)$ 种；随后对每个有身份的 $a\in A$，其外部搭档都可从 $2012$ 个元素中独立选择。因此不同集合族的个数为