2017 年黑龙江预赛 · 第 3 题

解答

按实指数函数的底数要求，有 $a>0$。令 $h(x)=a^x-x-a$。若 $0<a<1$，则 $h^{\prime }(x)=a^x\ln a-1<0$，且两端分别趋于正无穷与负无穷，故恰一根。若 $a=1$，则 $h(x)=-x$，仍只有一根。若 $a>1$，则 $h^{\prime \prime }(x)=(\ln a{)}^2{a}^x>0$，且 $h(0)=1-a<0$、两端均趋于正无穷；连续性给左右各一根，严格凸性保证至多两根。因此恰有两个实解当且仅当 $a>1$，选 $\boxed{\mathrm{A}}$。