培玉 · 一试
2026 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 8 题
从一个正方体的 条棱中随机选取 条，将它们染成红色，则事件“该正方体的 个面中，至少有一个面恰含 条红色棱”发生的概率是 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
反面计数使用 ；双计数是把同一批“红棱属于某个面”的关联分别按棱和按面相加。枚举可自验计数，学生证明仍须给出反面结构的完整分类。
想法从哪来：正面数“至少一个面”时，一个染色常会被好几个面同时计入，直接相加必重复；先改数没有任何面恰有两条红棱的反面。每条红棱同时属于两个面，所以六个面的红棱次数总和固定。这条双计数值得保留，但先得排除零红面和全红面，否则次数和本身还不能锁定分布。 排除后，每面只能有一条或三条红棱，总次数便迫使两类面各三个。再问三个三红面怎样摆放：若包含一对相对面，会使另外四面次数不够；因此它们共顶点。按这个顶点、对顶点与中间六边环分层计数，便能推出哪些棱全红、哪些全非红，中间环只能交替。最后证明染色能唯一找回所选顶点，才不会把反面重复数。
正面六个面的事件重叠很多；反面可以先排除全红或全非红面，再由面上的红棱次数反推整体结构。
解答
共有 个等可能结果。数反面，即没有一个面恰有两条红棱。先证不可能有零红面：与其相对的面只能有三或四条红棱。若有四条，则四条连接棱中有两条红棱；每个侧面已有一条红棱，要避免恰为二，侧面相邻的两条连接棱必须同色，迫使四条连接棱同色，矛盾。若相对面有三条红棱，则连接棱有三条红棱；唯一非红连接棱两侧的面都要求相对面上的边非红，却只有一条这样的边，仍矛盾。交换两种颜色又排除四红面。因此各面的红棱数只能为一或三。每条红棱被两个面计入，总次数为十二，故恰有三个三红面。三个三红面不能含一对相对面：否则六条红棱全在这两面上，四条连接棱皆非红，余下四面至多各一红棱，但它们应合计六次，矛盾。故三个三红面共用一个顶点，有八种选法。设该顶点发出的三棱中红棱数为 ，与它相对顶点发出的红棱数为 ，中间六边环上的红棱数为 。则 ，三个三红面的总次数给 ，故 ，只能 。每个面在中间环上的两棱须恰有一红，六边环必须交替染色，恰有两种。所以反面数为 ，所求概率为
复核
每种反面染色的三个三红面唯一确定公共顶点，所以八种顶点与两种交替色之间没有重复计数。零面与四面是由互换红、非红对应排除，未把三红面误作目标事件。
方法总结
先用面次数双计数压缩类型，再数可唯一恢复整个染色的结构。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
反面染色须排除零红面及四红面，再由面棱双计数证明三个三红面共顶点，最后以六边环交替唯一恢复并避免重复。
已记下，谢谢！