2024 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 11 题

解答

令 $z=1+u,w=1-u$，记 $r=|u|\ge 0$，则

三角不等式分别应用于两项的和与差，给出

令 $r_0=\sqrt{5}-2>0$，则 $r_0^2+4r_0=1$。 当 $0\le r\le r_0$ 时，$S\ge 2(1-r^2)\ge 2(1-r_0^2)=8r_0$； 当 $r\ge r_0$ 时，$S\ge 8r\ge 8r_0$。 因此总有 $S\ge 8(\sqrt{5}-2)$。

取实数 $u=r_0$，则 $u^2+4u-1=0$，$u^2-4u-1=-8u$，故等号成立。 对应 $z=\sqrt{5}-1,w=3-\sqrt{5}$，满足 $z+w=2$。 于是最小值为 $\boxed{8\sqrt{5}-16}$。