2022 年全国高中数学联赛一试（A2 卷） · 第 8 题

解答

由 $m\ne 0$，$f(x_1)=f(x_2)$ 必有 $x_1=x_2$。关于 $y=x$ 反射得

$g$ 也为一一对应函数。 点 $(2,3),(2,4)$ 横坐标相同，必须分属两条曲线；点 $(1,4),(2,4)$ 纵坐标相同，也必须分属两条曲线。因此 $(1,4),(2,3)$ 在同一条曲线上，$(2,4)$ 在另一条上。

若 $(1,4),(2,3)\in C_1$，则由对称性 $(4,2)\in C_1$。于是

前两个式子相等给出 $k-l=2$，后两个式子相等给出 $2k-l=2$。 所以 $k=0$，$l=-2$，$m=12$，此时 $f(x)=12/(x+2)$，故

若 $(1,4),(2,3)\in C_2$，交换 $f,g$ 的角色，相应交换 $k,l$，得到 $k=-2$，$l=0$，$m=12$，故

两组参数都满足 $m\ne 0$ 和所有点的归属条件，故答案为 $\boxed{1\text{ 或 }-4/5}$。