2024 年中科大少年班营二 · 第 1 题

解答

（1）非负性、对称性及 $d_2(x,y)=0⟺x=y$ 直接成立。对任意两向量 $u,v$，柯西不等式给 $\Vert u+v{\Vert }_2^2\le (\Vert u{\Vert }_2+\Vert v{\Vert }_2{)}^2$，两侧非负后开方就是三角不等式。令 $u=x-z,v=z-y$，便在二维得到所需距离公理。（2）同样论证也适用于固定的任意维数。$d_1$ 的三角不等式由逐坐标绝对值三角界相加得到，$d_{\infty }$ 则由各坐标差的统一最大界得到。记 $t_i=|x_i-y_i|$，比较最大项、平方和与和，并用柯西，有 $\boxed{d_{\infty }\le d_2\le \sqrt{n}{d}_{\infty },d_2\le d_1\le \sqrt{n}{d}_2,d_{\infty }\le d_1\le n{d}_{\infty }}$。各常数对点的位置无依赖，故任意一种距离的小球都包含另一种距离的适当缩小小球，三者两两等价。