易混 2024 年广东预赛 · P006476
两题都用幂在模素数下的合法乘法周期或阶来控制指数，但量词方向不同。证明某个整除事件会无限发生，可以固定指数余类再构造见证；限制所有质因子时，发现一个禁用质因子就足以排除整个指数。
一题合并兼容同余得到无限族，另一题利用较小指数的因子向大指数传递，逐项排除。
培玉 · 一试
2025 年贵州预赛
指数线性混合同余的无穷解
F2解答题数论
设 是素数且 ，求证：存在无限多个正整数 ，使得
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
的指数以 为周期，而 可独立指定。
思路
利用 与 互素，直接用中国剩余定理兼顾两项。
解答
任取非负整数 。由费马小定理，若
则 。同时要求
因为 ，中国剩余定理保证这两个同余式在模 意义下有唯一解。 设其中一个解为 ，则所有
都满足
取充分大的 ，即可得到无限多个正整数 。证毕。
复核
时模 的条件为空，而 为奇数，所有奇数 都可作为解；上述中国 剩余定理表述也仍可按模 理解。对奇素数，费马小定理的前提正是 。
方法总结
同余式同时含指数 和线性项 时，把指数按 固定、线性项按 固定； 两个模数互素，便可用中国剩余定理构造一个无限等差数列的解。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
先让 n 为 p-1 的倍数，再令 n=-1 mod p 即可；可直接取 n=(p-1)(kp+1)，这是费马小定理与互素模数的常见配合。
联系 · 1 条
已记下，谢谢！