垫脚石（此题 → 相关题） 2026 年中科大少年班入围考 第 17 题 · P009817
先用单位模把复方程压缩成两个圆的交点候选，再利用候选的有限乘法阶检验原幂关系；把固定指数换成整数参数后，这一步自然变成同余条件及计数。
前题只需对给定指数完成候选的排除或回代；后题必须证明整数条件既必要又充分，再处理指定整数范围的两端。
培玉 · 一试
2026 年内蒙古预赛
单位圆上的高次复数方程
F2填空题复数的几何意义
满足
且 的复数 有个。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
方程给出 。
思路
在单位圆条件下先比较两边的模，可把候选点压缩为 单位圆与圆 的两个交点，再逐点验证高次幂。
解答
若 满足题设，则
又 ，故
从而 。单位圆上的候选只能是
二者都满足 且 。因为 ，有 ，这与 矛盾。因此符合条件的复数个数为
复核
取模只给出必要条件，所以两个单位根都已代回原方程检查；没有把 误当成原方程的充分条件。
方法总结
高次复数方程若附有固定模，先取模通常能把候选限制在两个圆的交点上。候选成为单位根后， 再按指数对单位根阶数取模即可完成精确验证。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
先由|z|=|z+1|=1限制为两个三次单位根，再用2026模3的余数回代同时排除。
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